그냥 초등학생 분에게 도형에 대해 같이 공부하다보니까
직관적으로 받아들여 왔던 "이등변삼각형(두 변의 길이가 같은 삼각형)의 두 밑각은 서로 같다" "두 밑각이 같으면 두 변의 길이도 서로 같다"라는 명제에 대해 증명해야겠단 생각이 들었습니다. -_-
교재로 쓰고 있는 "유난히 설명이 잘 된 수학 (기하편)"에도 그건 증명이 안 되어 있더군요.
음... 처음에는 "각"이라는 걸 함수적으로 표현해서, 밑변을 한 축으로 하여 가로 변화율 - 세로 변화율 비율로 이해하면 풀리지 않을까 하고 그렇게 설명을 전개해보려고 하다가
삼각형의 합동을 이용하면 되지 않을까? 하는 생각이 언뜻 들어서
어제 지하철 안에서 푼 것
1. 선분 BC를 그린다. (밑변)
2. 선분 BC의 수직이등분선을 그린다. 이때 선분 BC의 중점(즉 수직이등분선이 지나는 점)을 D라고 하자.
3. 선분 BC의 한 끝점 C에서 수직이등분선 위에 있는 한 점 A로 임의의 선분 AC를 그린다.
4. 선분 AC가 수직이등분선과 만나는 점 A에서 선분 BC의 반대쪽 끝점 B까지 연결한 선분을 AB라고 하자.
5. 선분 AB의 길이가 선분 AC의 길이와 같다는 걸 삼각형의 합동으로 증명할 수 있다.
(수직이등분선이므로 선분 BD = 선분 CD, 수직이등분선이므로 각 ADB와 각 ADC는 모두 직각이고, 가운데의 수직이등분선 선분 AD의 길이는 공통. 따라서 SAS 합동.
그러므로 선분 AB의 길이 = 선분 AC의 길이)
6. 삼각형의 합동이므로 각 ABC와 각 ACB의 크기가 같다는 것과 선분 AC와 선분 AB의 길이가 같다는 것은 동치다.
핵심은 수직이등분선을 이용하는 거? -_-
(그림은 귀찮아서...)
* 삼각형의 합동조건, 세 변이 같다, 두 변과 그 끼인각이 같다, 한 변과 그 양 끝각이 같다, 라는 조건들은 두 점을 연결하는 직선은 하나 뿐, 이라거나 두 직선이 만나는 점은 하나뿐, 과 같은 가장 기본적인 공리만을 사용하여 증명할 수 있다. 그래서인지 증명할 때 큰 부담없이 쓸 수 있다.
(때로는 증명을 할 때 지금 증명하려고 하는 정리를 사용해야만 증명 가능한 다른 정리를 사용해서 그 정리를 증명을 해버리곤 한다. 순환논리가 되어 버린다. -_-;; 하지만 삼각형의 합동은 그럴 염려는 별로 없다.)
라는 걸 한창 삼각형 합동이랑 도형을 하고 있던 중학교 때는 깨닫지 못하고 이제 와서 깨닫는 나는 뭐냐 OTL 한국 수학 교육의 폐해인가
--------------------------------------------
추가 증명
위의 증명은 "모든 이등변삼각형의 등변이 만나는 꼭지점은 그 밑변의 수직이등분선 위에 있다"라는 것을 전제로 해야 성립할 수 있습니다. (나중에야 깨달은 OTL)
이걸 증명해보지요.
1. 먼저 임의의 이등변삼각형 ABC를 그립니다. (A가 등변이 만나는 꼭지점이고, 선분 BC는 밑변)
2. 선분 BC의 중점 D와 꼭지점 A를 연결하는 선분 AD를 그립니다.
3. 이 경우 삼각형 ABD와 삼각형 ACD는 합동입니다. (SSS합동)
4. 각 ADB와 각 ADC는 선분 BC의 각인 180도를 둘로 나누는 각이므로,
각 ADB + 각 ADC = 180도입니다.
5. 삼각형 ABD와 삼각형 ACD가 합동으로 같으므로, 각 ADB와 각 ADC도 서로 같습니다.
같은 각 두 개를 더해서 180도가 되므로 각 ADB = 각 ADC = 90도입니다.
6. 따라서 이등변삼각형에서 밑변의 중점과 두 등변이 만나는 꼭지점을 잇는 선분은 밑변의 수직이등분선이며, 모든 이등변삼각형의 두 등변이 만나는 꼭지점은 밑변의 수직이등분선 위에 위치합니다.
이렇게 증명해두면
수직이등분선을 이용해서 두 밑각이 같은 것과 두 변이 같은 것이 동치임을 증명하는 게 가능합니다.
근데 생각해보니까 이등변삼각형에서 꼭지점이 밑변의 수직이등분선 위에 있단 걸 증명하면 굳이 위와 같이 설명하지 않아도 곧장 거기서 삼각형의 합동을 다시 쓰면 되는데 OTLOTL
직관적으로 받아들여 왔던 "이등변삼각형(두 변의 길이가 같은 삼각형)의 두 밑각은 서로 같다" "두 밑각이 같으면 두 변의 길이도 서로 같다"라는 명제에 대해 증명해야겠단 생각이 들었습니다. -_-
교재로 쓰고 있는 "유난히 설명이 잘 된 수학 (기하편)"에도 그건 증명이 안 되어 있더군요.
음... 처음에는 "각"이라는 걸 함수적으로 표현해서, 밑변을 한 축으로 하여 가로 변화율 - 세로 변화율 비율로 이해하면 풀리지 않을까 하고 그렇게 설명을 전개해보려고 하다가
삼각형의 합동을 이용하면 되지 않을까? 하는 생각이 언뜻 들어서
어제 지하철 안에서 푼 것
1. 선분 BC를 그린다. (밑변)
2. 선분 BC의 수직이등분선을 그린다. 이때 선분 BC의 중점(즉 수직이등분선이 지나는 점)을 D라고 하자.
3. 선분 BC의 한 끝점 C에서 수직이등분선 위에 있는 한 점 A로 임의의 선분 AC를 그린다.
4. 선분 AC가 수직이등분선과 만나는 점 A에서 선분 BC의 반대쪽 끝점 B까지 연결한 선분을 AB라고 하자.
5. 선분 AB의 길이가 선분 AC의 길이와 같다는 걸 삼각형의 합동으로 증명할 수 있다.
(수직이등분선이므로 선분 BD = 선분 CD, 수직이등분선이므로 각 ADB와 각 ADC는 모두 직각이고, 가운데의 수직이등분선 선분 AD의 길이는 공통. 따라서 SAS 합동.
그러므로 선분 AB의 길이 = 선분 AC의 길이)
6. 삼각형의 합동이므로 각 ABC와 각 ACB의 크기가 같다는 것과 선분 AC와 선분 AB의 길이가 같다는 것은 동치다.
핵심은 수직이등분선을 이용하는 거? -_-
(그림은 귀찮아서...)
* 삼각형의 합동조건, 세 변이 같다, 두 변과 그 끼인각이 같다, 한 변과 그 양 끝각이 같다, 라는 조건들은 두 점을 연결하는 직선은 하나 뿐, 이라거나 두 직선이 만나는 점은 하나뿐, 과 같은 가장 기본적인 공리만을 사용하여 증명할 수 있다. 그래서인지 증명할 때 큰 부담없이 쓸 수 있다.
(때로는 증명을 할 때 지금 증명하려고 하는 정리를 사용해야만 증명 가능한 다른 정리를 사용해서 그 정리를 증명을 해버리곤 한다. 순환논리가 되어 버린다. -_-;; 하지만 삼각형의 합동은 그럴 염려는 별로 없다.)
라는 걸 한창 삼각형 합동이랑 도형을 하고 있던 중학교 때는 깨닫지 못하고 이제 와서 깨닫는 나는 뭐냐 OTL 한국 수학 교육의 폐해인가
--------------------------------------------
추가 증명
위의 증명은 "모든 이등변삼각형의 등변이 만나는 꼭지점은 그 밑변의 수직이등분선 위에 있다"라는 것을 전제로 해야 성립할 수 있습니다. (나중에야 깨달은 OTL)
이걸 증명해보지요.
1. 먼저 임의의 이등변삼각형 ABC를 그립니다. (A가 등변이 만나는 꼭지점이고, 선분 BC는 밑변)
2. 선분 BC의 중점 D와 꼭지점 A를 연결하는 선분 AD를 그립니다.
3. 이 경우 삼각형 ABD와 삼각형 ACD는 합동입니다. (SSS합동)
4. 각 ADB와 각 ADC는 선분 BC의 각인 180도를 둘로 나누는 각이므로,
각 ADB + 각 ADC = 180도입니다.
5. 삼각형 ABD와 삼각형 ACD가 합동으로 같으므로, 각 ADB와 각 ADC도 서로 같습니다.
같은 각 두 개를 더해서 180도가 되므로 각 ADB = 각 ADC = 90도입니다.
6. 따라서 이등변삼각형에서 밑변의 중점과 두 등변이 만나는 꼭지점을 잇는 선분은 밑변의 수직이등분선이며, 모든 이등변삼각형의 두 등변이 만나는 꼭지점은 밑변의 수직이등분선 위에 위치합니다.
이렇게 증명해두면
수직이등분선을 이용해서 두 밑각이 같은 것과 두 변이 같은 것이 동치임을 증명하는 게 가능합니다.
근데 생각해보니까 이등변삼각형에서 꼭지점이 밑변의 수직이등분선 위에 있단 걸 증명하면 굳이 위와 같이 설명하지 않아도 곧장 거기서 삼각형의 합동을 다시 쓰면 되는데 OTLOTL